对一次数学模拟考中立体几何试题的探究及教学建议
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作者：龙宇 佛山市顺德区罗定邦中学
责编：易珊
审核：王常斌
前言
近期笔者所在的学校参加了顺德区2020届高三第二次教学质量检测理科数学（以下简称顺二模），该套模拟题与2019年全国1卷的风格相似，试题的结构与难度的把控也相似，试题中有多道亮点题目，显示了命题者极高的命题水准，对之后的复习有很好的指导意义。
笔者仅挑选试题中“立体几何”部分进行分析，揣测出题者的意图。现整理成文，以飨读者。
在本次教学质量检测中，立体几何考察了两道题目，分别是12题（选择题）以及18题（解答题），其中12题以四棱锥为背景考察外接球问题，18题以三棱锥为背景考察面面垂直以及二面角问题。现将两道题目列举如下：
题目
题目的解法
易得该直三棱柱的外接球与原四棱锥的外接球为同一个球，原问题转化为求解直三棱柱的外接球问题。
关于题2的第(2)问，在第(1)问分析清楚的基础上，第(2)问的解答过程则较为常规，可行的方法有：传统几何法，向量法，射影法，三面角法等等。本文仅介绍一下射影法以及三面角法。
射影法：
背景分析
上述两题并没有给出图像，要求学生自己绘图，学生自己绘图的习惯以及观察视角的转化都将成为解题的难点，对比本文的题1，出题老师绘制出图像，无形中降低了试题难度，体现了人文关怀。
关于题2，与常规的立体几何问题相比，问(1)的难度有所提升，考察了平面几何的相关知识，以及翻折前后的变化问题。翻折问题是近几年高考命题的热点，这也成了各地模拟题的一个新的命制方向，例如：
分析：本题要通过分析平面展开图的几何性质，再利用翻折条件下的不变性发现立体几何的几何性质。
在题2的具体求解过程中利用了计算二面角来证明面面垂直，与2015年全国1卷第18题较为相似，本文不再展示。对于题2所涉及的三棱锥，可视为由两个垂直的平面构成，一个为等腰直角三角形，一个为等边三角形。经过笔者的研究发现，该模型与2018年全国2卷第20题极为相似[3]：
对高三复习的几点建议
本份试卷考察了外接球问题，面面垂直的证明问题以及二面角问题，都是立体几何章节的主干知识。两道题目都体现了“模型”思维，且都需要通过运算发现几何关系。这对我们后续的复习有很好的借鉴意义。
关于外接球问题，有大量的文章总结过相关模型，分的很细致。对于现阶段的复习而言，面面俱到是不现实的.所以笔者认为应将复习的重心转换为培养学生理解题目的编制上。可以在试卷讲评的过程中，让同学们根据总结的模型自行命制题目。
对于直三棱柱、长方体以及圆锥等经典模型，需要同学们深刻理解其求解过程，在经典模型的基础上，通过构造新的几何体即可命制出新的问题，其次，还可通过转换观察视角来命制新的题目。
关于面面垂直问题，常见的证明逻辑是通过线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，这也是教师平时强调的主要方法。题2也可通过该方式求证，但过程较为复杂。所以本文通过回归到面面垂直的定义在进行证明，建议在复习阶段多研究问题的本质，回归问题的本源。
最后关于二面角的求解，在以往的高考数学理科试题中，立体几何都会设计二面角的求解。除了常规的求解策略外，也可介绍一下：射影法以及三面角法进行求解。这两种方法，运算量小，且对辅助线的要求较低，可以作为检验答案的手段与策略。
参考文献
本文章和图片来源《顺德数学家园》
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(注：“V”：微的谐音，也是英文We的同音）
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乐数主编近期部分讲座稿及论文
1.《高中数学优秀科组建设报告》，2019年顺德区大教研会议发言稿，2019.9.11
2.《高三解析几何解答题解题模式分析及教学建议》，广东省中学数学（高中组）优秀教育教学论文讲座稿，2019.5.18
3.《对2018年全国高联竞赛广东预赛第9题的深入探究》，发表在《数学通讯》2019.1期
4.《突出学科素养，提升应用意识》，个人学术讲座，2018.11.8
5.“携手共进，相辉相映”——名师工作室交流活动暨高考专题讲座，2019.3.7
6.《依托米勒问题，传播数学文化》,发表在《中学数学研究》2019.2期
7.《利用三个特征点求解一类含绝对值的最值问题》,发表在《中学数学研究》2019.5期
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